重心

一様な厚さの金属製円板(半径: \(r\) )から、半径 \(\frac{r}{2}\) の円板をくり抜きます。このとき、くり抜いた円板の周は金属製円板の中心を通過しているものとします。このとき、のこりの金属の重心の位置を求めたいと思います。

<解法1>
元の円板の中心をO、くり抜いた円板の中心をSとします。
また、金属製円板の質量を \(m\) とすると、くり抜いた円板の質量は \(\frac{1}{4}m\) つまり、残りの金属の質量は \(\frac{3}{4}m\)
Oを中心として直線OSを \(x\) 軸とします。求める重心の位置はこの \(x\) 軸上にあるはずです。 したがって、求める重心の位置を \((x, 0)\)、くり抜いた金属の重心の位置を \(\left( -\frac{r}{2}, 0\right)\) とすると、この2つの共通の重心は原点にあります。(くり抜いた円板をはめ込めば、元の金属製円板に戻る⇒重心は原点!)
よって
\(\dfrac{\frac{3}{4}mx+\frac{1}{4}m \left(-\frac{r}{2}\right)}{\frac{3}{4}m+\frac{1}{4}m}=0\)
これを解くと
\(x=\frac{r}{6}\)
よって、求める重心の位置は \(\left( \frac{r}{6}, 0 \right)\)…(答)

<解法2>
元の金属製円板に、マイナスの質量をもつ円板が乗っていると考えます。⇒結果としてくり抜かれた状態になる
あとは、マイナスの質量を考慮して重心を求める式に当てはめます。是非やってみてください。