接点 t
\(t\) における接線を立てて、指定された通過点を通るように \(t\) を立式する。
どんな簡単な点でも誘惑振り切ってこうだ！
問題
3次関数 \(y=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2+2x\) に点 A\(\left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3} \right)\) から引いた接線の方程式を求めよ。
【解答】
接点 P\(\left(t, \dfrac{1}{3}t^3-2t^2+2t \right)\) とおく。
\(y’=x^2-4x+2\) であるから, 接線の方程式は
\(y=(t^2-4t+2)(x-t)+\left(\dfrac{1}{3}t^3-2t^2+2t \right)\)
\(=(t^2-4t+2)x-\dfrac{2}{3} t^3+2t^2\)・・・①
これが, 点 A\(\left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3} \right)\) を通るから
\(\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}(t^2-4t+2)-\dfrac{2}{3}t^3+2t^2\)
\(2t^3-5t^2-4t+3=0\)
\((t+1)(2t-1)(t-3)=0\)
ゆえに, \(t=-1, \dfrac{1}{2}, 3\)
これらを①に代入すると接線は3本あり, その方程式は
\(y=7x+\dfrac{8}{3}\)
\(y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{5}{12}\)
\(y=-x\)
となる。・・・(答)
