整数
中学生と整数問題に挑戦!
別解なども出て楽しめました。
下記にオーソドックスな解法を示します。
例題
\(\sqrt{n^2-80}\) が整数となるような自然数 \(n\) をすべて求めなさい。
【解答】
\(\sqrt{n^2-80}=k\) …① とおくと
\(k>0\)
①の両辺を二乗して
\(n^2-80=k\)
\(n^2-k^2=80\)
\((n+k)(n-k)=80\)
\(n-k<n+k\) より
\((n-k, n+k)\)
\(=(2, 40), (4, 20), (5, 16), (8, 10)\)
よって
\(2n=42, 24, 21, 18\)
\(n\) は整数なので
\(n=9, 12, 21\) …(答)