今日の授業の宿題
\(x^3+8=(x+ \fbox{サ})(x^2- \fbox{シ} x+ \fbox{ス})\)
である。
\(x\) の整数係数多項式 \(P(x)\) を \(x^3+8\) で割ったときの余りを
\(ax^2+bx+c\) （\(a, b, c\) は整数）とする。
\(P(x)\) を \(x+2\) で割った余りが \(4\) のとき,
\(\fbox{セ}a-\fbox{ソ}b+c-\fbox{タ}=0\) である。
さらに, \(P(x)\) を
\(x^2-\fbox{シ}x+\fbox{ス}\) で割った余りが \(11x-10\) のとき,
\(a= \fbox{チ}\), \(b= \fbox{ツ}\), \(c= \fbox{テ}\) である。
\(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\) (答)
より
\(P(x)\)
\(=(x^3+8)Q(x)+ax^2+bx+c\)
\(=(x+2)(x^2-2x+4)Q(x)+ax^2+bx+c\)
と表せる。
\(P(-2)=4\) より
\(4a-2b+c=4\)
\(4a-2b+c-4=0\)・・・① (答)
\(ax^2+bx+c\) を \(x^2-2x+4\) で割った余りが \(11x-10\) となるので
\(ax^2+bx+c\)
\(=(x^2-2x+4)a+(b+2a)x+c-4a\)
より
\(b+2a=11\) つまり \(b=-2a+11\)・・・②
\(c-4a=-10\) つまり \(c=4a-10\)・・・③
②, ③を①に代入して
\(4a-2(-2a+11)+4a-10-4=0\)
\(a=3, b=5, c=2\) (答)
