余りの問題

今日の授業の宿題

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$x^3+8=(x+\boxed{\text{サ}})(x^2-\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}})$
である。
$x$ の整数係数多項式 $P(x)$ を $x^3+8$ で割ったときの余りを
$a{x}^2+bx+c$ （$a,b,c$ は整数）とする。
$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $4$ のとき,
$\boxed{\text{セ}}a-\boxed{\text{ソ}}b+c-\boxed{\text{タ}}=0$ である。
さらに, $P(x)$ を
$x^2-\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}}$ で割った余りが $11x-10$ のとき,
$a=\boxed{\text{チ}}$, $b=\boxed{\text{ツ}}$, $c=\boxed{\text{テ}}$ である。

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$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$　(答)
より
$P(x)$
$=(x^3+8)Q(x)+a{x}^2+bx+c$
$=(x+2)(x^2-2x+4)Q(x)+a{x}^2+bx+c$
と表せる。

$P(-2)=4$ より
$4a-2b+c=4$
$4a-2b+c-4=0$・・・①　(答)

$a{x}^2+bx+c$ を $x^2-2x+4$ で割った余りが $11x-10$ となるので

$a{x}^2+bx+c$
$=(x^2-2x+4)a+(b+2a)x+c-4a$
より
$b+2a=11$ つまり $b=-2a+11$・・・②
$c-4a=-10$ つまり $c=4a-10$・・・③

②, ③を①に代入して
$4a-2(-2a+11)+4a-10-4=0$
$a=3,b=5,c=2$　(答)