6の倍数

本日のホワイトボード演習


\(m^3n-mn^3\) が6の倍数であることを示せ。(\(m, n\) は整数)
例えば、\(m, n\) に整数を代入してみて6の倍数となることを確認してみましょう。
\(m=3, n=2\) のとき
\(3^3\cdot2-3\cdot2^3=54-24=30\)
確かに、6の倍数となっています。では証明してみましょう!

準備として
『連続する3つの整数は6の倍数となる』
ことを利用します。つまり
\((k-1)k(k+1)\) は6の倍数となる。…①

\(m^3n-mn^3\) を①の形に変形できれば解決です。

\(m^3n-mn^3=mn(m^2-n^2)\)
\(=mn(m+n)(m-n)\)
…ここで止まってしまいました。
どうやらこの変形ではダメなようです。別のアプローチを考えます。

\(m^3n-mn^3=mn(m^2-n^2)\)
\(=mn\{(m^2-1)-(n^2-1)\}\)
\(=mn\{(m+1)(m-1)-(n+1)(n-1)\}\)
\(=n(m-1)m(m+1)-m(n-1)n(n+1)\)…②

したがって、①より(6の倍数)-(6の倍数)となり②は6の倍数となる。
よって題意は証明された。…(終)