立方体内の四面体の共通部分

図のような立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨについて、４点Ａ，Ｃ，Ｆ，Ｈを頂点とする四面体を S とし、４点Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｇを頂点とする四面体をT とします。

S とT の共通部分の立体Uはどのような立方体になるでしょうか？

Geogebraで立体の作図をしてみると、正八面体であることがすぐに分かります。
紙ベースの試験で正八面体と答えるのは難しそう・・・。

では、問題です。

立体U の体積は立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨの何倍となるでしょうか？
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【解答】
立方体の１辺の長さを $2a$ とすると、立方体の体積 $V$ は

$V=2a\times 2a\times 2a=8a^3$・・・①

正四面体の１辺の長さは、三平方の定理より $\sqrt{2}a$ なので、正四面体の体積 $V^{\prime }$ は

$V^{\prime }=\sqrt{2}a\times \sqrt{2}a\times a\times {\displaystyle \frac{1}{3}}\times 2={\displaystyle \frac{4}{3}}{a}^3$・・・②

①, ②より

${\displaystyle \frac{V^{\prime }}{V}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$・・・(答)